معرفی آینه محدب و اجزای آن

آینه های کروی و آینه محدب ترافیکی را بیشتر بشناسید

بیشتر ما از دیدن تصویرهای عجیب و غریب کله قندی ترافیکی در آینه های منحنی شگفت زده شده ایم. یک نوع از آینه های منحنی، «آینه های کروی» (Spherical Mirrors) هستند. این آینه ها، بخشی از سطح یک کره هستند. هنگامی که سطح داخلی آینه جیوه اندود باشد، آینه محدب یا «کوژ» (Convex Mirrors) تشکیل می شود. به عبارت دیگر در آینه کوژ یا محدب، سطح خارجی کره انعکاس دهنده نور یا «سطح انعکاس دهنده» (Reflecting Surface) است. به همین ترتیب هنگامی که سطح خارجی آینه جیوه اندود باشد، آینه مقعر یا «کاو» (Concave Mirrors) تشکیل می شود. به عبارت دیگر در آینه کاو یا مقعر سطح داخلی کره، انعکاس دهنده نور یا سطح انعکاس دهنده است.

تقارن یکی از اصول اساسی در بسیاری از قطعات نوری مثل آینه ها و لنزها است. آینه کروی با بریدن قطعه ای از کره و نقره یا جیوه اندود کردن داخل یا خارج کره، تشکیل می شود. محور تقارن برای المان های نوری، معمولا به نام «محور اصلی» (Principal Axis) یا «محور نوری» (Optical Axis) شناخته می شود. در یک آینه کروی، محور نوری از «مرکز انحنا» (Center of Curvature) و «رأس آینه» (Vertex) عبور می کند.

تجهیزات ترافیکی: حال یک آینه سهموی را در نظر بگیرید. یک دسته پرتو به موازات محور نوری، به آینه سهموی تابیده می شود. طبق قانون انعکاس، پرتوها پس از بازتاب در یک نقطه به هم می رسند که به نقطه کانونی آینه نامیده می شود. فرض می شود که ابعاد این آینه نسبت به شعاع انحنای آن، بسیار بزرگتر است. در این آینه، همه پرتوها از یک نقطه عبور نمی کنند. پس این آینه، یک نقطه کانونی مشخص ندارد.

این پدیده، «انحراف کروی» (Spherical Aberration) نام دارد. به دلیل پدیده انحراف کروی، تصویر تشکیل شده از این نوع آینه ها، مات است. این آینه، تقریب مناسبی از آینه سهموی است. بنابراین پرتوهای موازی با محور نوری آینه، پس از برخورد به آینه و بازتاب از آن به یک نقطه کانونی مشخص می رسند. «فاصله کانونی» (Focal Length)، فاصله ای است که روی محور اصلی آینه اندازه گیری می شود و برابر با فاصله بین نقطه کانونی تا آینه است.

آینه های کروی در حالت کلی، یک مرکز انحنا، یک شعاع انحنا و یک محور اصلی دارند. محور اصلی از مرکز انحنای کره و مرکز آینه می گذرد. در آینه های کروی، تمامی پرتوها از یک نقطه واگرا یا در یک نقطه همگرا می شوند. اگر پرتوهای برخوردی به آینه به موازات محور اصلی به آن تابانده شوند، پس از بازتاب از یک نقطه عبور می کنند. این نقطه، «نقطه کانونی» (Focal Point) نام دارد. فاصله بین نقطه کانونی و مرکز تقارن آینه، «فاصله کانونی» (Focal Length) نامیده می شود. محل نقطه کانونی در آینه های مقعر یا کاو، جلوی آینه و در آینه های محدب یا کوژ، پشت آینه است.

آینه مقعر یا کاو

$C$ مرکز انحنای آینه و $f$ نقطه کانونی آن است. حال می خواهیم برای آینه های مقعر یا کاو، یک رابطه بین فاصله کانونی آینه و شعاع انحنای آینه به دست آوریم.

مطابق شکل، یک پرتو تکی به آینه کروی مقعر برخورد می کند و سپس بازتاب می یابد. پرتو برخوردی، با محور نوری آینه موازی است. این پرتو پس از بازتاب، محور نوری آینه را در نقطه کانونی آن قطع می کند. به یاد داشته باشید که همه پرتوهای برخوردی موازی محور اصلی آینه، هنگام بازتاب از نقطه کانونی عبور می کنند. در این شکل برای سادگی، فقط یک پرتو نشان داده شده است. فاصله کانونی ($FP$) به صورت خلاصه با $f$ نشان داده می شود. شعاع انحنای آینه نیز $R$ است. مطابق شکل، شعاع انحنای آینه برابر است با:

$R = CF + FP$
معادله (1)

طبق قانون بازتاب، زاویه های $\angle OXC$  و $\angle CXF$ با یکدیگر برابر هستند. از آنجا که پرتو برخوردی با محور نوری آینه موازی است، زاویه های $\angle OXC$ و $\angle XCP$ نیز با یکدیگر برابرند. بنابراین، مثلث $CXF$ یک مثلث متساوی الساقین است. در این مثلث، داریم:

$CF=FX$
معادله (2)

اگر زاویه $\theta$ بسیار کوچک باشد، می توان نوشت:

 $\sin θ≈ θ $
معادله (3)

معادله (3) با نام «تقریب زاویه کوچک» (Small Angle Approximation) نیز شناخته می شود. به این ترتیب داریم:

 $FX≈FP \, \, \, , \, \, \, CF≈FP$
معادله (4)

با جایگزینی معادله (4) در معادله (1)، خواهیم داشت:

$\begin{align} R &=CF+FP \nonumber \\[5pt] &=FP+FP \nonumber \\[5pt] &=2FP\nonumber \\[5pt] &=2f \end{align}$

به عبارت دیگر، با استفاده از تقریب زاویه کوچک می توان گفت که فاصله کانونی آینه مقعر کروی ($f$) با نصف شعاع انحنای آن ($R$)، برابر است. پس داریم:

$f=\frac{R}{2}.$
معادله (5)

تقریب زاویه کوچک را «تقریب پیرامحوری» (Paraxial Approximation) نیز می نامند. فرض می شود که این تقریب، همواره معتبر است. اگر همه پرتوها در امتداد محور باشند، زاویه بین آنها و محور نوری کوچک است و فاصله آنها از محور نوری، کمتر از شعاع انحنای آینه است. در این حالت زوایای $\theta$ کوچک هستند. بنابراین:

$\sin θ≈ \tan θ≈ θ. $
معادله (6)

در شکل (5)، مسیر پرتو نور موازی با محور اصلی رسم شده است. در واقعیت، پرتوهای نور با فاصله های مختلف از محور اصلی و زاویه های مختلف به آینه برخورد می کنند. پرتوهایی که با محور اصلی آینه تقریبا موازی هستند، زاویه برخورد کوچکی دارند. به این پرتوها، پرتوهای موازی گفته می شود. پرتوهای موازی پس از برخورد به آینه و بازتاب از آن، از نقطه کانونی آینه می گذرند.

پرتوهایی که نسبت به محور اصلی آینه زاویه دارند، دقیقا در نقطه کانونی همگرا نمی شوند. بنابراین فقط برای پرتوهای موازی، فاصله کانونی به اندازه نصف فاصله مرکز انحنا از مرکز آینه است.

همانطور که بیان شد، این حقیقت که پرتوهای غیرموازی با محور اصلی از نقطه کانونی آینه عبور نمی کنند، دلیل ایجاد انحراف کروی است. این پدیده، باعث تار شدن تصویر می شود. برای کم کردن انحراف کروی، شعاع انحنای آینه کروی باید بزرگ باشد. این کار باعث می شود که اختلاف فاصله پرتوها و محور اصلی، محدود شود.

همچنین برای از بین بردن اثر انحراف کروی، از «آینه سهموی» (Parabolic Mirror) استفاده می شود. تلسکوپ هابل شامل یک آینه سهموی بود، اما نقص در ساخت این آینه، یک ماموریت ویژه برای تجهیز مجدد تلسکوپ را ضروری کرد. از آینه های سهموی در ساخت تلسکوپ های با کیفیت و قطعات متمرکز کننده امواج الکترومغناطیسی مثل آنتن ها، استفاده های فراوانی می شود.

از رفلکتورهای سهموی برای تولید پرتوهای متمرکز موازی در چراغ قوه، لامپ و نور ماشین استفاده می شود. اگر یک منبع نوری در نقطه کانونی آینه قرار گیرد، نور به موازات محور اصلی آینه بازتاب می کند. به این ترتیب، یک پرتو باریک موازی ایجاد می شود.

همانطور که گفتیم، در آینه های مقعر دو نقطه به نام های مرکز انحنا (C) و نقطه کانونی (F) مهم هستند. فاصله بین مرکز تقارن آینه و مرکز انحنا،  شعاع انحنای آینه نام دارد. فاصله کانونی نیز فاصله بین نقطه کانونی و مرکز تقارن آینه است. به آینه های مقعر، آینه های همگرا کننده نیز می گویند. زیرا نور در این آینه ها در نقطه کانونی جلوی آینه جمع می شود.

تصویر شیء در آینه های مقعر

تصویر یک شیء در آینه می تواند حقیقی یا مجازی و مستقیم یا معکوس باشد. اندازه تصویر نسبت به شیء نیز می تواند کوچکتر یا بزرگتر باشد. در ادامه به بررسی خصوصیات تصویر تشکیل شده از شیء در آینه مقعر خواهیم پرداخت.

روش ترسیم اشعه و مکان یابی تصویر شیء در آینه مقعر

یک روش برای به دست آوردن تصویر شیء در آینه های کروی، «روش ردیابی یا ترسیم اشعه» (Ray Tracing Method) است.

در این روش، از شیء به آینه پرتو تابانده می شود. سپس از قوانین انعکاس استفاده می شود و پرتوهای بازتابی از آینه ترسیم می شوند. اگر این پرتوها به هم برسند، یک تصویر تشکیل می شود. با ترکیب این روش و هندسه پایه، می توان نقطه کانونی، محل تصویر تشکیل شده از شیء در آینه و خصوصیات آن را پیش بینی کرد.

در روش ردیابی اشعه، یک سری پرتوهای مشخص از شیء به آینه تابانده می شود و از پرتوهای تصادفی استفاده نمی شود. پرتوهای مشخص در روش ردیابی اشعه به صورت زیر تعریف می شوند:

پرتو موازی، به موازات محور اصلی آینه است. در آینه های مقعر پرتو موازی، پس از برخورد به آینه، در نقطه کانونی همگرا می شود. به همین ترتیب، اگر یک پرتو از نقطه کانونی آینه مقعر بگذرد و به آن برخورد کند، به موازات محور اصلی آینه بازتاب می کند. در نهایت، اگر یک پرتو از مرکز انحنای آینه عبور کند، پرتو بازتاب یافته همان مسیر پرتو برخوردی را طی می کند و از مرکز انحنای آینه در جهت معکوس می گذرد.

سه پرتو مشخص 1، 2 و 3 از شیء به آینه تابانده شده است. این شیء، بین نقطه کانونی و مرکز انحنای آینه قرار دارد. سه پرتو پس از برخورد به آینه، همگی در یک نقطه جمع می شوند. طبق روش ردیابی اشعه، تصویر شیء در آینه مقعر به صورت زیر تشکیل می شود:

• پرتو 1 پس از ترک شیء به آینه برخورد می کند و از مرکز انحنای آینه می گذرد.
• پرتو 2 به صورت افقی و به موازات محور اصلی شی را ترک می کند. این پرتو پس از برخورد به آینه، بازتاب می یابد و از نقطه کانونی آینه عبور می کند.
• پرتو 3 پس از ترک شیء از نقطه کانونی آینه عبور می کند. پرتو بازتاب یافته به موازات محور افقی آینه است و از آن دور می شود.

نقطه برخورد سه اشعه، بازتاب نقطه متناظر آن در شیء است. محل تشکیل تصویر در شکل (6)، پشت مرکز انحنای آینه است. این تصویر، بزرگتر از جسم و معکوس است. از آنجایی که تصویر در سمت شیء و جلوی آینه قرار دارد، به آن تصویر واقعی گفته می شود. یک تصویر واقعی را می توان روی پرده انداخت. مفاهیم مطرح شده، اساس روش ردیابی پرتو است.

حال این سوال مطرح می شود که با معکوس شدن موقعیت چه اتفاقی رخ می دهد. در این حالت، جسم پشت مرکز انحنای آینه قرار دارد.

می توان با استفاده از همان سه پرتو مشخص و مانند شکل (6)، تصویر شیء را تشکیل داد. در این حالت، تصویر بین مرکز انحنا و نقطه کانونی آینه قرار می گیرد. این تصویر، نسبت به شیء معکوس و کوچکتر است. همچنین در این حالت تصویر ایجاد شده از شیء در آینه مقعر حقیقی است، زیرا در سمت شیء تشکیل می شود. پس می توان تصویر را روی پرده انداخت تا قابل مشاهده شود.

ممکن است محل قرارگیری شی به آینه نزدیکتر باشد. مثلا اگر شی، بین نقطه کانونی و آینه باشد، می توان از روش ردیابی اشعه استفاده کرد. شکل زیر این مسئله را نشان می دهد:

در این حالت، بازتاب سه پرتو جلوی آینه نخواهد بود و این سه پرتو، در پشت آینه به یکدیگر می رسند. همانطور که در شکل نیز مشخص است، در این حالت تصویر، غیر حقیقی و مجازی است. پرتوها پس از برخورد به آینه از یکدیگر دور می شوند. اما ناظر فکر می کند که تصویری مجازی از پشت آینه به چشم او می رسد.

معادله آینه

در مبحث آینه تخت مشاهده کردیم که تصویر شی در آینه تخت، مستقیم است و اندازه ای برابر دارد و پشت آینه تشکیل می شود. فاصله تصویر در آینه تخت تا آینه، با فاصله شیء تا آینه برابر است. می توان با استفاده از مفاهیم پایه هندسه مانند آنچه در آینه تخت مشاهده شد، به روابطی ساده برای فواصل شیء و تصویر تا نقطه کانونی در آینه های کروی رسید. می توان محل تشکیل تصویر را محاسبه کرد. مطابق شکل (9)، دو پرتو از شیء به آینه تابانده می شود. بازسازی تصویر با استفاده از روش ردیابی پرتو، انجام می شود. در این شکل:

• $h_o$ ارتفاع شی است.
• $h_i$ ارتفاع تصویر است.
• $d_o$ فاصله شی از مرکز تقارن آینه است.
• $d_i$ فاصله تصویر از مرکز تقارن آینه است.

مثلث ها تشابه دارند. بنابراین می توان یک تناسب بین فاصله ها و ارتفاع ها برقرار کرد. زوایا در این مثلث ها برابر است، پس اندازه اضلاع با هم برابر است. بنابراین داریم:

شکل (الف)، کاربرد «قانون اسنل» (Snell’s Law) را نشان می دهد. طبق این قانون زاویه برخورد با زاویه بازتاب با یکدیگر برابر هستند. بنابراین با توجه به تشابه مثلث ها داریم:

$\frac{h_o}{h_i}=\frac{d_o}{d_i}$
معادله (7)

در شکل (ب) و با توجه به تشابه مثلث ها، می توان رابطه زیر را نوشت:

$\frac{h_o}{h_i}=\frac{(d_o – f)}{f}$
معادله (8)

با برابر قرار دادن این روابط (7) و (8) خواهیم داشت:

$\frac{d_o}{d_i}=\frac{(d_o – f)}{f}$
معادله (9)

یا به عبارت دیگر:

$\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}$
معادله (10)

رابطه (10) به نام «معادله آینه» (The Mirror Equation) مشهور است. این معادله، یک رابطه بین فاصله شی از آینه و فاصله تصویر از آینه و نقطه کانونی آینه برقرار می کند. معادله آینه تا زمانی که تقریب زاویه کوچک قابل اعمال باشد، معتبر است. معادله آینه را می توان برای آینه های تخت نیز تعمیم داد. شعاع انحنای آینه تخت برابر بی نهایت است. بنابراین، نقطه کانونی آینه تخت در بی نهایت است. با توجه به رابطه (10)، معادله آینه به صورت زیر نوشته می شود:

$d_o = -d_i$

در معادله آینه، توجه به علامت های فاصله ها بسیار ضروری است. مثلا برای آینه تخت، فاصله تصویر از آینه علامتی مخالف با فاصله شیء از آینه دارد. هنگامی که شیء بین کانون و مرکز انحنای آینه یا پشت مرکز انحنای آینه باشد، تصویری به وجود آمده در آینه مقعر معکوس شیء است. به همین دلیل، ارتفاع تصویر ($h_i$) باید علامتی مخالف با ارتفاع شیء ($h_o$) داشته باشد. پس در معادله آینه باید به نکات زیر توجه کرد:

1. در آینه های مقعر، فاصله کانونی یک عدد مثبت در نظر گرفته می شود.
2. فاصله تصویر از آینه ($d_i$) برای تصاویر حقیقی مثبت و برای تصاویر مجازی، منفی است.